本书旨在通过系统的讲解和配套丰富的辅助资源，帮助学生全面掌握矩阵理论的核心内容，并提升其学习能力和应用能力.本书在有限的篇幅内聚焦矩阵论的核心理论,内容设计紧密贴合高校研究生的学习现状，整体难度把控得当.为确保学生能够准确掌握每一个知识点,在大部分重要的结论与定义后，精心配备了例题进行阐释，通过实例引导学生深入理解并提炼出知识的精髓.更进一步，在部分章节的后面，特别增设了一节内容，介绍该章所学知识在不同专业领域及研究方向上的实际应用案例，以此拓宽学生的视野，增强本书的实用性和跨学科融合性.此外，为了满足不同学习基础和能力的学生的需求，还精心设计了多层次、不同难度的习题，以便让每位学生都能在适合自己的挑战中找到自身的不足之处，从而全面提升学习效果.

天津理工大学理学院

前言
常用符号表
第1章线性空间与内积空间1
1.1线性空间1
1.1.1线性空间及其基本
性质1
1.1.2线性空间的基与维数4
1.1.3线性子空间与空间的直和
分解14
1.2内积空间22
1.2.1内积空间及其基本性质22
1.2.2标准正交基与正交化
方法28
1.2.3内积空间的正交分解32
*1.3线性方程组的最小二乘解34
第2章线性变换40
2.1线性映射40
2.1.1线性映射及其性质40
2.1.2线性同构43
2.2线性变换及其矩阵表示45
2.2.1线性变换的运算45
2.2.2线性变换的矩阵48
2.2.3矩阵的相似56
2.2.4内积空间上的线性变换62
*2.3线性变换与度量66
第3章λ-矩阵及其 Smith标
准形71
3.1多项式的基本性质71
3.2λ-矩阵的基本概念、初等变换及
相抵77
3.3λ-矩阵的Smith标准形83
3.4λ-矩阵的行列式因子88
3.5λ-矩阵的初等因子97
第4章矩阵的相似标准形105
4.1矩阵的特征值、特征向量和相似
对角化105
4.2矩阵相似的判定109
4.3矩阵的Jordan标准形111
4.4有理标准形118
4.5方阵的零化多项式与最小多
项式122
第5章正规矩阵及其酉对
角化134
5.1正规矩阵134
5.1.1正规矩阵定义134
5.1.2正规矩阵性质135
5.2酉矩阵140
5.2.1酉矩阵性质140
5.2.2Givens 矩阵142
5.2.3Householder 矩阵144
5.3Hermite 矩阵145
5.3.1Hermite 矩阵性质145
5.3.2二次型148
5.3.3正定矩阵154
*5.4正规矩阵应用157
第6章矩阵分解160
6.1满秩分解160
6.2三角分解164
6.3QR 分解170
6.4奇异值分解174
*6.5矩阵分解在图像处理中的
应用177
第7章矩阵范数与极限181
7.1范数与矩阵范数181
7.1.1基本概念及性质181
7.1.2收敛元列186
7.1.3相容方阵范数188
*7.1.4算子范数194
7.2矩阵序列与矩阵级数198
7.2.1矩阵序列198
7.2.2矩阵级数201
7.2.3方阵幂级数203
*7.3矩阵扰动分析207
7.3.1矩阵逆的扰动分析 208
7.3.2线性方程组解的扰动
分析209
第8章方阵函数214
8.1几类特殊方阵函数的性质214
8.2方阵函数值的计算217
8.2.1方阵可对角化时217
8.2.2方阵不可对角化时219
8.2.3利用插值多项式求方阵函
数值224
8.3方阵函数在微分方程组中的
应用228
8.3.1函数矩阵及其微积分228
8.3.2方阵函数etA在解微分方程
组中的应用232
参考文献240