本书是大学“复变函数与积分变换”课程教材. 全书共分为7章， 分别是：复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、级数、留数及其 应用、保形映射、积分变换. 本书每章中间编有若干随文练习题，便于读者学练互动，每章章末 有小结和课后作业题，书末有参考答案. 本书参考文献后有中外人名对 照表和索引，便于读者查询. 加星号的部分为选读内容，主要包含复变 函数理论的应用. 本书配图丰富，内容清晰，语言流畅且不失严谨. 本书适合作为大 学相关课程教材，也可供教学人员和工程技术人员参考.

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目 录
引言
第 1 章 复数与复变函数 1
1.1 复数及其代数运算 1
1.1.1 复数的产生 1
1.1.2 复数的概念 3
1.1.3 复数的代数运算 4
1.1.4 共轭复数 6
1.2 复数的三角形式与指数形式 7
1.2.1 复数的模和辐角 7
1.2.2 复数的三角和指数形式 10
1.3 三角和指数形式在计算中的运用 12
1.3.1 复数的乘除 12
1.3.2 复数乘法的几何意义 13
1.3.3 复数的乘幂 14
1.3.4 复数的方根 15
1.3.5 实系数三次方程根的情况 (选读)17
1.3.6 单位根的应用 (选读) 19
1.4 曲线和区域 23
1.4.1 复数表示平面曲线 23
1.4.2 区域和闭区域 25
1.4.3 区域的特性 28
1.5 复变函数 29
1.5.1 复变函数的定义 29
1.5.2 复平面的变换 30
1.6 极限和连续性 33
1.6.1 数列的极限 33
1.6.2 无穷远点和复球面 34
1.6.3 函数的极限 35
1.6.4 函数的连续性 37
1.6.5 复数域的性质 (选读) 38
本章小结 44
本章作业 45
第 2 章 解析函数 47
2.1 解析函数的概念 47
2.1.1 可导函数 47
2.1.2 可微函数 49
2.1.3 解析函数 50
2.2 函数解析的充要条件 51
2.2.1 柯西–黎曼定理 51
2.2.2 柯西–黎曼定理的应用 53
2.3 初等函数 57
2.3.1 指数函数 57
2.3.2 对数函数 59
2.3.3 幂函数 61
2.3.4 三角函数和相关函数 63
2.3.5 在有理函数中的应用 66
2.3.6 矩阵上的指数函数 (选读) 69
2.3.7 多值函数的单值化 (选读) 72
本章小结 76
本章作业 77
第 3 章 复变函数积分 79
3.1 复变函数积分的概念 79
3.1.1 复变函数积分的定义 79
3.1.2 参变量法计算复变函数积分 80
3.1.3 长大不等式和大小圆弧引理 83
3.2 柯西-古萨定理和复合闭路定理85
3.2.1 柯西-古萨定理 85
3.2.2 复合闭路定理和连续变形定理 87
3.2.3 原函数和不定积分 90
3.3 柯西积分公式 94#12;
目 录 V
3.3.1 解析函数的柯西积分公式 94
3.3.2 高阶导数的柯西积分公式 96
3.4 解析函数与调和函数 100
3.4.1 调和函数 100
3.4.2 共轭调和函数 101
3.5 复变函数在平面向量场中的应用
(选读) 104
3.5.1 平面向量场 104
3.5.2 无源场、无旋场和调和场 105
3.5.3 应用举例 106
本章小结 109
本章作业 110
第 4 章 级数 113
4.1 复数项级数 113
4.1.1 复数项级数及其敛散性 113
4.1.2 判别法 116
4.2 幂级数 117
4.2.1 幂级数及其收敛圆 117
4.2.2 收敛半径的计算 119
4.2.3 幂级数的运算性质 120
4.3 泰勒级数 123
4.3.1 泰勒展开的形式与性质 123
4.3.2 泰勒展开的计算方法 125
4.3.3 泰勒展开在级数中的应用(选读) 128
4.3.4 泰勒展开成立的范围(选读) 130
4.4 洛朗级数 132
4.4.1 双边幂级数 132
4.4.2 洛朗展开的形式 134
4.4.3 洛朗展开的计算方法 136
4.4.4 有理函数的泰勒展开和洛朗展开
(选读) 140
4.5 孤立奇点 145
4.5.1 孤立奇点的类型 145
4.5.2 零点与极点 149
4.5.3 孤立奇点 ∞ 的分类 (选读) 151
本章小结 154
本章作业 155
第 5 章 留数及其应用 158
5.1 留数 158
5.1.1 留数定理 158
5.1.2 留数的计算方法 159
5.1.3 在 ∞ 的留数 162
5.2 留数的应用 164
5.2.1 留数在定积分中的应用 164
5.2.2 留数在级数中的应用 (选读) 174
5.2.3 儒歇定理 (选读) 177
本章小结 180
本章作业 181
第 6 章 保形映射 183
6.1 保形映射的概念 183
6.1.1 导数的几何意义 183
6.1.2 保形映射的定义 184
6.1.3 扩充复平面上的保形映射 185
6.2 分式线性映射 187
6.2.1 分式线性映射的性质 187
6.2.2 分式线性映射举例 191
6.2.3 分式线性映射的其他表现(选读) 195
6.3 初等函数对应的映射 198
6.3.1 幂函数 198
6.3.2 指数函数 200
6.3.3 儒可夫斯基函数 203
6.4 保形映射在标量场中的应用
(选读) 206
本章小结 208
本章作业 209
第 7 章 积分变换 211
7.1 傅里叶变换 211
7.1.1 积分变换的引入 211
7.1.2 傅里叶级数 212
7.1.3 傅里叶变换 214
7.1.4 狄拉克 δ 函数 219#12;
VI 目 录
7.1.5 傅里叶变换的性质 222
7.1.6 傅里叶变换的应用 227
7.2 拉普拉斯变换 233
7.2.1 拉普拉斯变换的定义 233
7.2.2 拉普拉斯变换的性质 235
7.2.3 拉普拉斯逆变换 238
7.2.4 拉普拉斯变换的应用 240
本章小结 243
本章作业 245
练习参考答案 247
作业参考答案 249
参考文献 263
中外人名对照表 264
索引 266