本书内容丰富、体系完备，兼顾理论与实践，具体内容如下： （1）基础理论：从数值计算的 研究对象、浮点数、误差理论等基础概念讲起，介绍误差来源、各类误差限与有效数字，阐述误 差传播规律，强调数值计算中应避免相近数相减、大数“吃”小数等问题，为后续学习筑牢根基. （2）方程求解：线性方程组求解是重点，涵盖直接解法（高斯消去法、多种分解法、选主元技巧 及运算量分析）和迭代法（经典迭代法、最速下降法、共轭梯度法等多种方法及其收敛性分析）. 非线性方程求根包含二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等多种算法，以及非线性方程组的数值 解法. （3）函数逼近与插值：系统讲解函数插值，如拉格朗日插值、牛顿插值等多种插值方式， 涉及高维插值. 在函数逼近与曲线拟合方面，介绍函数逼近概念、正交多项式，以及最小二乘法 在多种函数拟合中的应用. （4）数值微积分：数值积分部分，从基本思想、代数精度入手，介绍 牛顿-科茨公式等多种求积公式，以及多重积分和振荡函数积分计算. 数值微分则讲解中点公式、 差商型等多种数值微分方法. （5）矩阵计算与常微分方程求解：在矩阵特征值与特征向量计算上， 介绍特征值性质、估计和扰动，以及幂法、QR 方法等多种近似计算方法. 常微分方程求解包含初 值问题（欧拉法、龙格-库塔法等）和边值问题（打靶法、差分法）的数值解法，还涉及刚性方程 组. （6）拓展内容：介绍分数阶微积分理论与计算，包括常用定义形式、线性分数阶常微分方程 解析解和数值解法，拓展学生知识边界. 本书适配48学时、64学时和72学时的课程设置，可作为普通高等院校数学专业和理工科各相 关专业的本科生、研究生的“数值分析”和“计算方法”课程的教材或参考书.

高等院校教师

目 录
前言
第 1 章 引论 1
1.1 数值计算的研究对象与特点 1
1.2 浮点数 2
1.3 误差的相关理论 4
1.3.1 误差的来源 4
1.3.2 绝对误差与绝对误差限 5
1.3.3 相对误差与相对误差限 5
1.3.4 有效数字 6
1.4 误差的传播 8
1.4.1 函数的误差估计 8
1.4.2 算术运算的误差估计 9
1.4.3 算法的数值稳定性 10
1.5 数值计算中需注意的问题 12
1.5.1 避免两个相近数相减 12
1.5.2 避免大数“吃”小数的现象 13
1.5.3 避免绝对值较小的数作为
除数 15
1.5.4 简化计算步骤, 提高运算
效率 15
习题 16
第 2 章 线性方程组的直接解法 18
2.1 引言 18
2.1.1 向量和矩阵 19
2.1.2 矩阵的特征值与谱半径 21
2.1.3 特殊矩阵 22
2.2 高斯消去法及三角分解法 23
2.2.1 高斯消去法 24
2.2.2 LU 分解 28
2.2.3 Cholesky 分解法 33
2.2.4 追赶法 36
2.2.5 选主元的高斯消去法 38
2.2.6 运算量分析 42
2.3 误差分析 42
2.3.1 向量范数 42
2.3.2 矩阵范数 45
2.3.3 病态方程组与条件数 49
习题 54
第 3 章 线性方程组的迭代法 55
3.1 引例 55
3.2 迭代法基本原理 58
3.3 经典迭代法 63
3.3.1 雅可比迭代法 63
3.3.2 高斯-赛德尔迭代法 65
3.3.3 逐次超松弛迭代法 67
3.3.4 经典迭代法的收敛性 68
3.3.5 外推法 73
3.4 最速下降法与共轭梯度法 74
3.4.1 最速下降法 76
3.4.2 共轭梯度法 76
3.5 预条件共轭梯度法 79
3.5.1 预条件共轭梯度法的思想和
构造方法 79
3.6 Krylov 子空间迭代法 82
习题 84
第 4 章 函数插值 85
4.1 插值问题的提出 85
4.2 多项式插值 86
4.3 拉格朗日插值 89
4.3.1 插值基函数 89
4.3.2 n 次拉格朗日插值函数 91
4.3.3 插值余项与误差估计 95
VI 数值分析
4.4 牛顿插值 98
4.4.1 差商 100
4.4.2 牛顿插值多项式 102
4.5 拉格朗日插值的质心形式 105
4.6 埃尔米特插值 108
4.7 分段插值 114
4.7.1 高次插值与龙格现象 114
4.7.2 分段线性插值 116
4.7.3 分段三次埃尔米特插值 117
4.8 样条插值 120
4.8.1 三次样条插值函数 120
4.8.2 三转角法求三次样条插值
函数 123
4.8.3 三弯矩法求三次样条插值
函数 127
4.8.4 误差界与收敛性 132
4.9 三角插值与快速傅里叶变换 133
4.9.1 三角函数插值 133
4.9.2 快速傅里叶变换 135
4.10 高维插值 139
4.10.1 利用插值基函数组进行
二元函数插值 139
4.10.2 径向基函数插值 142
习题 147
第 5 章 函数逼近与曲线拟合 149
5.1 函数逼近的基本概念 149
5.2 正交多项式 150
5.2.1 基本概念 150
5.2.2 常用正交多项式 152
5.3 函数的最佳平方逼近 155
5.4 曲线拟合和最小二乘法 158
5.4.1 多项式拟合 158
5.4.2 指数函数拟合 160
5.4.3 分式函数线性拟合 162
5.4.4 线性最小二乘法的一般
形式 162
习题 166
第 6 章 非线性方程求根 167
6.1 二分法 168
6.2 不动点迭代法 170
6.2.1 不动点迭代法的一般形式和
几何意义 170
6.2.2 不动点迭代法的收敛条件 172
6.3 局部收敛性与收敛阶 174
6.3.1 Steffensen 加速方法 177
6.4 牛顿迭代法 178
6.4.1 牛顿迭代法及其收敛性 178
6.4.2 牛顿迭代法应用举例 181
6.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法 182
6.4.4 重根情景 184
6.5 弦截法 185
6.6 抛物线法 186
6.7 非线性方程组的数值解法 188
6.7.1 非线性方程组 188
6.7.2 多变量方程的不动点迭
代法 189
6.7.3 非线性方程组的牛顿迭
代法 191
习题 193
第 7 章 数值积分 194
7.1 数值积分概述 194
7.1.1 数值积分的基本思想 194
7.1.2 代数精度 196
7.1.3 插值型求积公式 198
7.2 牛顿-科茨求积公式和误差估计 200
7.2.1 牛顿-科茨求积公式 200
7.2.2 牛顿-科茨求积公式的误差
估计 203
7.3 复合求积公式 205
7.3.1 复合梯形求积公式 205
7.3.2 复合辛普森求积公式 206
7.4 外推法与龙贝格求积公式 208
目 录 VII
7.4.1 变步长求积公式 208
7.4.2 外推技巧 209
7.4.3 龙贝格求积公式 210
7.5 自适应积分方法 212
7.6 高斯求积公式 216
7.6.1 高斯点与高斯求积公式 216
7.6.2 高斯-勒让德求积公式 218
7.6.3 高斯求积公式的稳定性和
收敛性 222
7.7 多重积分与振荡函数积分的
数值计算 222
7.7.1 多重积分 222
7.7.2 振荡函数的积分 224
7.8 应用算例求解与分析 227
习题 228
第 8 章 数值微分 231
8.1 中点公式数值微分方法 231
8.1.1 中点公式与误差分析 231
8.1.2 插值型数值微分公式 233
8.1.3 数值微分问题的不适定性 235
8.2 基于三次样条的数值微分方法 237
8.3 基于多项式逼近的方法 240
8.3.1 基于勒让德多项式逼近的
截断方法 240
8.3.2 基于多项式逼近的 Tikhonov
正则化的方法 244
习题 246
第 9 章 矩阵特征值与特征向量的
近似计算 247
9.1 特征值的性质与估计 247
9.1.1 特征值的性质 247
9.1.2 特征值的估计 249
9.1.3 特征值的扰动 253
9.2 正交变换及矩阵分解 254
9.2.1 豪斯霍尔德变换 254
9.2.2 吉文斯变换 257
9.2.3 矩阵的 QR 分解 259
9.2.4 矩阵的实 Schur 分解 261
9.2.5 上海森伯格分解 262
9.3 幂法和反幂法 265
9.3.1 幂法 265
9.3.2 加速方法 268
9.3.3 收缩方法 273
9.3.4 反幂法 274
9.4 QR 方法 276
9.4.1 基本 QR 方法 276
9.4.2 上海森伯格阵的 QR 方法 279
9.4.3 带原点位移的 QR 方法 281
9.5 雅可比方法 284
习题 287
第 10 章 常微分方程初值问题的
数值解法 289
10.1 引言 289
10.2 欧拉法 292
10.2.1 欧拉公式及其几何意义 292
10.2.2 欧拉公式的变形 293
10.3 截断误差和方法的阶 295
10.4 龙格-库塔法 297
10.4.1 二阶龙格-库塔法 298
10.4.2 三阶龙格-库塔法 300
10.4.3 四阶龙格-库塔法 300
10.5 单步法的收敛性和稳定性 301
10.5.1 收敛性 301
10.5.2 稳定性 303
10.6 线性多步法 304
10.6.1 线性多步法的一般公式 305
10.6.2 亚当斯显式与隐式公式 306
10.6.3 米尔恩 (Milne) 方法 307
10.7 常微分方程组和高阶常微分方程
的数值解法 308
10.7.1 常微分方程组 308
10.7.2 高阶常微分方程 313
VIII 数值分析
10.7.3 刚性方程组 316
10.8 常微分方程边值问题数值
解法 319
10.8.1 打靶法 320
10.8.2 差分法 327
习题 331
第 11 章 分数阶微积分的理论与
计算 333
11.1 引言 333
11.1.1 基本思想 333
11.1.2 几个特殊函数 335
11.2 分数阶微积分的常用定义
形式 339
11.2.1 Gr¨unwald-Letnikov 分数阶
微积分 339
11.2.2 Riemann-Liouville 分数阶
积分 343
11.2.3 Caputo 分数阶微积分 349
11.3 线性分数阶常微分方程
解析解 354
11.3.1 分数阶微分方程模型举例及
拉普拉斯变换 354
11.3.2 线性分数阶微分方程单项初值
问题 356
11.3.3 线性分数阶微分方程单项边值
问题 361
11.4 分数阶常微分方程数值解法 364
11.4.1 初值问题的数值方法 364
11.4.2 边值问题的数值方法 374
习题 376
参考文献 377